RSS对”输入计算器一个数字,然后狂按cosine”结果的思考
Dec 22
Technology Cosine, Matlab 3 Comments
高中的时候就这么做了.然后很奇怪的发现:当你狂按n次,(n>20?未验证),你会发现计算器上显示的结果不变了~
一般你这么做了计算器会显示:0.999847741(很佩服用这个数做密码的人,这样忘记密码也不担心勒~),极少有人会得出:0.739085133215161(用这个密码似乎更保险).但是这两个结果都是对的.主要区别是你输入的数字表示的是十进制数字还是弧度.因为默认是十进制数字所以结果是第一种的人较多.在rad(弧度)的情况下,得出的结果是第二种,即:0.739085133215161.
一.数学过程
考虑输入弧度: x, 求余弦得出:cos(x).对结果再次求余弦得出:cos(cos(x)),如此反复,cos(…cos(cos(cos(x)))). 这是一个迭代过程. 迭代过程的一般解法是只需考虑初始值和前一个循环过程:
(a) x —- cos(x)
(b) cos(x)—-cos(cos(x))
把(b)式中的cos(x)和(a)中的x关联起来,即 x=cos(x) ,那么这个迭代就可以简化成(a)了.所以,可以推出结论:输入计算器一个数字,然后狂按cosine,实际上是用暴力方法(brute force)解x=cos(x)这个方程.
二.x=cos(x)这个方程有解么?
首先当然要定义范围.余弦函数周期是2pi.可以定义[0,2*pi],不过因为cos(x)值域不会超过1.范围可以进一步缩小.[0,pi/2]是一个不错的选择.
现在考虑函数f(x)=x-cos(x), xϵ[0,pi/2].方程x=cos(x)是否有解的问题,可以变换为f(x)的极值问题.
因为:f’(x)=1+sin(x)>0, (f”(x)=cos(x)>0,极小值在f(x0)=1+sin(x0)=0,处取得,不与关注.)一阶倒数大于零.所以f(x)单调递增.极大值在pi/2处取得.
max{f(x)}=f(pi/2)=pi/2 > 0. 此时不能说f(x)=0有解,仍要考虑min{f(x)}与0的关系.只有min{f(x)}小于0,然后依据高数中的中值定理才可.min{f(x)}=f(0)=-1 <0.
至此:因为f(x)=x-cos(x)在[0,pi/2]区间上连续且单调递增.min{f}<0且max{f}>0.所以必然存在x,使得 f(x)=0.
三.Matlab程序模拟
四.问题
很多人可能要问那狂按计算器上的sin有没有稳定结果来?遇到这种情况借你计算器的人可要倒霉了.估计他以后没法算sin了,那个键失灵勒~.
x=sin(x)在[0,pi/2]上是没有解的.可以用我第二部分的分析,同样分析这个.我的matlab代码里面注释了一段程序,同时话出了f(w)=w-sin(w)的图形.可以看出.在w>0范围内.该图形都在w轴上方,即f(w)>0.当然,如果你觉得看完这篇blog非要找个例子试试,不然就连数羊,数什么都无法入眠的话我还是可以给你提供一个例子的.有兴趣的朋友可以尝试解下:e^x = 3x.(Hint:答案不唯一哦!)
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